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创新设计(浙江专用)2018版高考数学一轮温习 第二章节 函数概念与基本初等函数I 第1讲 函数及其表示讲义_图文


第1讲 函数及其表示

最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定 义域和值域,了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不 同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数;3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不 超过三段).

1.函数与映射的概念

知识梳理

两个集合 A,B

函数 设A,B是两个_非__空__数__集__

映射 设A,B是两个非__空__集__合__

如果按照某种确定的对应 如果按某一个确定的对

关系f,使对于集合A中的 应关系f,使对于集合A中 对应关系f: _任__意_一个数x,在集合B中 的任__意__一个元素x,在集
A→B 都有_唯__一__确__定__的数f(x)和 合B中都有_唯__一__确__定_的元

它对应

素y与之对应

名称 记法

称__f:__A__→__B_为从集 称__f:__A__→__B_为从集

合A到集合B的一个函 合A到集合B的一个



映射

函数y=f(x),x∈A 映射:f:A→B

2.函数的定义域、值域 (1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做 函数的__定__义__域__;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值 的_集__合__{_f_(x_)_|x_∈__A_}_叫做函数的_值__域__. (2)如果两个函数的_定__义__域__相同,并且_对__应__关__系__完全一致, 则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法 表示函数的常用方法有_解__析__法__、图象法和_列__表__法__.
4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因_对__应__关__系__不同而分别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_并__集__,其值域 等于各段函数的值域的_并__集__,分段函数虽由几个部分组成, 但它表示的是一个函数.

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y=1 与 y=x0 是同一个函数.( ) (2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数 y= x2+1-1 的值域是{y|y≥1}.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )

解析 (1)函数 y=1 的定义域为 R,而 y=x0 的定义域为{x|x≠0}, 其定义域不同,故不是同一函数. (3)由于 x2+1≥1,故 y= x2+1-1≥0,故函数 y= x2+1-1 的值域是{y|y≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函 数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(必修1P25B2改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}, 值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[-2,2],C中图象不表示函数, D中函数值域不是[0,2]. 答案 B

3.(2017·舟岛一模)函数 y=2x2-1-3xx-2 2的定义域为(

)

A.(-∞,1]

B.[-1,1]

C.[1,2)∪(2,+∞)

D.???-1,-12???∪???-12,1???

解析 由题意,得?????12- x2-x2≥ 3x-0,2≠0.

解之得-1≤x≤1 且 x≠-12.

答案 D

4.(2015·陕西卷)设 f(x)=?????12- x,xx<,0,x≥0,则 f(f(-2))等于(

)

A.-1

1

1

3

B.4

C.2

D.2

解析 因为-2<0,所以 f(-2)=2-2=14>0,

所以 f(f(-2))=f???14???=1- 答案 C

14=1-12=12,故选 C.

5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4), 则a=________. 解析 由题意知点(-1,4)在函数f(x)=ax3-2x的图象上, 所以4=-a+2,则a=-2. 答案 -2

6.(2017·丽水调研)设函数 f(x)=?????- log22x(2+1-1 x)(x≥(1x)<1,),设函数 f(f(4))=________.若 f(a)=-1,则 a=________.

解析

∵f(x)



??-2x2+1 (x≥1), ???log2(1-x) (x<1),

∴f(4)





2×42



1



-31,f(f(4))=f(-31)=log232=5;当 a≥1 时,由 f(a)=-2a2+

1=-1,得 a=1(a=-1 舍去);当 a<1 时,由 f(a)=log2(1-a)

=-1,得 1-a=12,即 a=12.

答案 5 1 或12

考点一 求函数的定义域

【例 1】 (1)(2017·郑州调研)函数 f(x)=ln x-x 1+x12的定义域为(

)

A.(0,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.(0,1)∪(1,+∞)

(2)若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 017],则函数 g(x)=f(xx-+11)的

定义域是____________.

解析 (1)要使函数 f(x)有意义,应满足???x-x 1>0, ??x≥0,
解得 x>1,故函数 f(x)=lnx-x 1+x12的定义域为(1,+∞). (2)∵y=f(x)的定义域为[1,2 017], ∴g(x)有意义,应满足?????1x-≤1x+ ≠10≤ . 2 017, ∴0≤x≤2 016,且 x≠1. 因此 g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016,且 x≠1}.
答案 (1)B (2){x|0≤x≤2 016,且 x≠1}

规律方法 求函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式 (组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不 等式(组)求解. (3)若已知f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))的定义域可由 a≤g(x)≤b求出;若已知f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x) 的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.

【训练 1】 (1)(2015·湖北卷)函数 f(x)= 4-|x|+lgx2-x-5x3+6的

定义域为( )

A.(2,3)

B.(2,4]

C.(2,3)∪(3,4]

D.(-1,3)∪(3,6]

(2)若函数 f(x)= 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围

为________.

??4-|x|≥0, 解析 (1)要使函数 f(x)有意义,应满足???x2-x-5x3+6>0, ∴?????|xx-|≤24>,0且x≠3,则 2<x≤4,且 x≠3. 所以 f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4]. (2)因为函数 f(x)的定义域为 R,所以 2x2+2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成 立,则 x2+2ax-a≥0 恒成立.因此有 Δ=(2a)2+4a≤0, 解得-1≤a≤0.
答案 (1)C (2)[-1,0]

考点二 求函数的解析式 【例 2】 (1)已知 f ???2x+1???=lg x,则 f(x)=________;
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则 f(x) =________; (3)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f ???1x???· x-1, 则 f(x)=________.

解析 (1)令 t=2x+1(t>1),则 x=t-2 1,∴f(t)=lgt-2 1, 即 f(x)=lgx-2 1(x>1). (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=2,得 c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1, 则 2ax+a+b=x-1, ∴?????2aa+=b1=,-1,即?????ab==12-,32.∴f(x)=12x2-32x+2.

(3)在 f(x)=2f ???1x???· x-1 中,将 x 换成1x,则1x换成 x,

得 f ???1x???=2f(x)·

1x-1,由?????ff(???1xx???)==2f(2f x???)1x???··

x-1, 1x-1,

解得 f(x)=23 x+13. 答案 (1)lgx-2 1(x>1)

(2)12x2-32x+2

(3)23 x+13

规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时 要注意新元的取值范围. (3)构造法:已知关于 f(x)与 f ???1x???或 f(-x)的表达式,可根据已知 条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出 f(x). (4)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x) 的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式.

【训练 2】 (1)已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)=________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x) =x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则 f(x)=__________. 解析 (1)令 x+1=t,则 x=(t-1)2(t≥1),代入原式得 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 所以 f(x)=x2-1(x≥1).

(2)当-1≤x≤0 时,0≤x+1≤1,由已知 f(x)=12f(x+1)=-12x(x+1). (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 将 x 换成-x,则-x 换成 x,得 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得,f(x)=23lg(x+1)+13lg(1-x),x∈(-1,1). 答案 (1)x2-1(x≥1) (2)-12x(x+1) (3)23lg(x+1)+13lg(1-x)(-1<x<1)

考点三 分段函数(多维探究)

命题角度一 求分段函数的函数值

【例 3-1】(2015·全国Ⅱ卷)设函数 f(x)=?????12+ x-1l,ogx2≥(12,-x),x<1,

则 f(-2)+f(log212)=( )

A.3

B.6

C.9 D.12

解析 根据分段函数的意义,f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3. 又log212>1,∴f(log212)=2(log212-1)=2log26=6, 因此f(-2)+f(log212)=3+6=9. 答案 C

命题角度二 求参数的值或取值范围

【例 3-2】(1)(2015·山东卷)设函数 f(x)=?????32xx,-xb≥,1x.<1,若 f

?
?f
?

?5?? ??6????

=4,则 b=( )

A.1

B.78

C.34

D.12

??ex-1,x<1,

(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=? 1

则使得 f(x)≤2 成立

??x3,x≥1,

的 x 的取值范围是________.

解析 (1)f ???56???=3×56-b=52-b,

若52-b<1,即 b>32时,则 f

?
?f
?

???56??????=f

???52-b???=3???52-b???-b=4,

解之得 b=78,不合题意舍去.

若52-b≥1,即

b≤32,则

5
22-b=4,解得

b=12.

(2)当 x<1 时,ex-1≤2,解得 x≤1+ln 2,所以 x<1.
1
当 x≥1 时,x3≤2,解得 x≤8,所以 1≤x≤8.

综上可知 x 的取值范围是(-∞,8].

答案 (1)D (2)(-∞,8]

规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变 量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时, 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变 量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.

【训练 3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=?????2-x-lo1-g2( 2,x+x≤1)1,,x>1, 且 f(a)=-3,则 f(6-a)=( )

A.-74

B.-54

C.-34

D.-14

(2)(2017 南京、盐城模拟)已知函数 f(x)=???2x+1,x≤0,

则不

??-(x-1)2,x>0,

等式 f(x)≥-1 的解集是________.

解析 (1)当 a≤1 时,f(a)=2a-1-2=-3, 即 2a-1=-1,不成立,舍去; 当 a>1 时,f(a)=-log2(a+1)=-3, 即 log2(a+1)=3,解得 a=7, 此时 f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.故选 A. (2)当 x≤0 时,由题意得2x+1≥-1, 解之得-4≤x≤0.当 x>0 时,由题意得-(x-1)2≥-1, 解之得 0<x≤2,综上 f(x)≥-1 的解集为{x|-4≤x≤2}.
答案 (1)A (2){x|-4≤x≤2}

[思想方法] 1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是
定义域是否相同;二是对应关系是否相同. 2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并
且它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要 树立函数定义域优先意识. 3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配 凑法、构造解方程组法. 4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.

[易错防范] 1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和
f(x)的定义域相混. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,
映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是 数集,则这个映射便不是函数. 3.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的 函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论.



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