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二次函数的性质MicrosoftWord文档

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立身以立学为先,立学以读书为本 二次函数的图像与应用 知识要点: 1.结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次 方程根的存在性及参数的取值范围. 2.函数零点的定义: (1)对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈ D)的零点. (2)方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有 零点。 . 3.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 Δ=0 Δ<0 与 x 轴的交点 零点个数 无交点 4.设 x1、x2 是实系数二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,则 x1、x2 的 分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示. 根的分布 图像 充要条件 x1<x2<k ?f?k?>0 ? b ?-2a<k 图像 Δ>0 Δ>0 ? ? 或?x1+x2<2k ??x1-k??x2-k?>0 ? 根的分布 充要条件 x1、x2∈ (k1,k2) ? ?f?k ?>0 ?f?k ?>0 b ? ?k <-2a<k 1 2 1 Δ≥0 2 立身以立学为先,立学以读书为本 根的分布 图像 充要条件 x1<k<x2 f(k)<0 根的分布 图像 充要条件 x1 , x2 有且仅有 一个在(k1,k2)内 f(k1)· f(k2)<0 或 f(k1)=0, k1<- k1+k2 b 或 f(k2)=0, <- <k2 2 2a b k1+k2 < 2a 2 例题分析: 例1 已知函数 f(x)=8x2-(m-1)x+(m-7).问当 m 取何值时,函数 的零点满足下列性质,通过求解,探求此类问题的一般解法. (1)均为正数; (2)一正一负; (3)一根大于 2,另一根小于 2; (4)两根都在(0,2)内. 跟踪练习: 1.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围为( ) A.a<-1 C.-1<a<1 B.a>1 D.0≤a<1 2. 已知 f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b), m, n 是 f(x)的零点, 且 m<n, 则实数 a,b,m,n 的大小关系是( A.m<a<b<n C.a<m<b<n ) B.a<m<n<b D.m<a<n<b g( x ) ? f (2 x ) x ? 1 的定义域 3.若函数 y= f(x)的定义域是[0,2],则函数 是( ) A.[0,1] B.[0,1]∪(1,4) C.[0,1] D. (0,1) 立身以立学为先,立学以读书为本 4. 已知函数 f( x ? ) ? x 2 ? A.8 B.9 1 x 1 则 f(3)=( x2 ) D.11 C.10 1+x 5.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…, 1-x 则 f2013(x)=( A. 1+x 1-x ) B. x-1 x+1 C.x 1 D.-x a 1 例 2 已知函数 y=-x2+ax-4+2在区间[0,1]上的最大值是 g(a). (1)写出 g(a)的函数表达式; (2)求 g(a)的最小值. 练 6.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间 [0,2]上有解,求 实数 m 的取值范围 m≤-1. 练 7.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴有且只有一个交点.若存在,求出 a 的范围; 1 若不存在,说明理由.综上所述,a<-5或 a>1. 练 8.已知函数 f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的 值。 2 例 3 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) ,满足 f(-1)=0;且对任 意实数 x 都有 f(x)-x≥0;当 x ? (0, 2) 时有 (1)求 f(1)的值; f ( x) ? ( x ? 1)2 , 4 立身以立学为先,立学以读书为本 (2)证明:a>0,c >0; 1 ] , (3) 当 x ? [? m?0 时, 函数 g( x ) ? f ( x ) ? mx(m ? R) 是单调的, 求证: 或 m ? 1. 练 9.已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=0,且 x ? f ( x) ? 1 2 ( x ? 1) 2 对一切实 数 x 恒成立: (1)求 f(1) ; (2)求 f(x)的解析式; 练 10.已知函数 f ? x ? ? ? a2 ? 1? x2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 的定义域和值域分别为 R 试分别确定满足条件的 a 的取值范围。答案: (1)a ? 1 或 a ? ?3(2) ?3 ? a ? 1 或 a ? ?1 练 11.记 f(x)=ax2-bx+c,若 f(x)>0 不等式的解集为(1,3),试解关于 t 的不等式 f ? t ? 8 ? ? f ? 2 ? t 2 ? 。 ?3 ? t ? 3 。 例 4 函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有三个零点,则 a=________. 练 11. 若 1<x<3, a 为何值时 x2-5x+3+a=0 有两解、 一解、 无解? 练 12 已知 f(x)=? ? ?x+1,x∈[-1,0?, ?x +1,x∈[0,1], ? 2 则下列函数的图像错误的是( ) 立身以立学为先,立学以读书为本 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? b ? 0 ? 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为() 若动点(x,y)在曲线 4 b ? b2 ? b2 b2 ? ? 4 ? 0


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