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高中数学必修一函数大题(含详细解答)


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高中函数大题专练
1、已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)(x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R 。 ⑴试求不等式的解集 A ; ⑵对于不等式的解集 A ,若满足 A Z ? B(其中 Z 为整数集)。试探究集合 B 能否为有 限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由。
2、对定义在[0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f (x) 称为 G 函数。 ① 对任意的 x ?[0, 1] ,总有 f (x) ? 0; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f (x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2) 成立。
已知函数 g(x) ? x2 与 h(x) ? a ? 2x ?1是定义在[0, 1] 上的函数。 (1)试问函数 g(x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h(x) 是 G 函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下 ,讨论方程 g(2x ?1) ? h(x) ? m (m ? R) 解的个数情况。

3.已知函数 f (x) ? 2x ? 1 . 2|x|
(1)若 f (x) ? 2 ,求 x 的值;
(2)若 2t f (2t) ? mf (t) ? 0 对于 t ?[2, 3] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4.设函数

f

(x)

是定义在 R

上的偶函数.若当

x

?0

时,

f

(x)

?

? ?

1

?

?

1 x

,

x

?

0;

??0, x ? 0.

(1)求 f (x) 在 (??, 0) 上的解析式.

(2)请你作出函数 f (x) 的大致图像.

(3)当 0 ? a ? b 时,若 f (a) ? f (b) ,求 ab 的取值范围.

(4)若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件.

5.已知函数 f (x) ? a ? b (x ? 0) 。 |x|
(1)若函数 f (x) 是 (0, ??) 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (2)当 b ? 2 时,若不等式 f (x) ? x 在区间 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 g(x) 若存在区间[m, n](m ? n) ,使 x ?[m,n] 时,函数 g(x) 的值域也是
[m, n] ,则称 g(x) 是[m, n] 上的闭函数。若函数 f (x) 是某区间上的闭函数,试探 求 a, b 应满足的条件。

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6、设 f (x) ? ax2 ? bx ,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b ,使函数 f (x)
的定义域和值域相同。
7.对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R ,使 f (x0 ) ? x0 成立,则称点 (x0, x0 ) 为函数的不动点。 (1)已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a 与 b 的值; (2)若对于任意实数 b ,函数 f (x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求 a 的
取值范围;
(3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g(x) 存在(有限的)n 个不动点,求证:n 必为奇数。

8.设函数

f

(x)

?

x

?

1 ,(x x

?

0) 的图象为 C1 、 C1 关于点

A(2,1)的对称的图象为 C2



C2 对应的函数为 g(x) .

(1)求函数 y ? g(x) 的解析式;

(2)若直线 y ? b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值并求出交点的坐标.

9.设定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 满足下面三个条件:
①对于任意正实数 a 、 b ,都有 f (a ?b) ? f (a) ? f (b) ?1;
② f (2) ? 0;
③当 x ? 1时,总有 f (x) ? 1. (1)求 f (1)及f ( 1 ) 的值;
2 (2)求证: f (x)在(0,??) 上是减函数.
10. 已知函数 f (x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ?[?2,0) 时, f (x) ? tx ? 1 x3( t 为
2
常数)。
(1)求函数 f (x) 的解析式;
(2)当 t ?[2,6]时,求 f (x) 在 ?? 2,0?上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f (x) 在 ?0,2?上的单调递增区间(不必证明);
(3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f (x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

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11.记函数 f ?x? ? 2 ? x ? 7 的定义域为 A ,g?x? ? lg??2x ? b??ax ?1???b ? 0, a ? R? 的定
x?2 义域为 B , (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围

12、.对于在 ?a,b? 上有意义的两个函数 f (x) 与 g(x) ,如果对任意的 x ?[a,,b] ,均有

?1 ? f (x) ? g(x) ? 1,则称 f (x) 与 g(x) 在 ?a,b? 上是接近的,否则称 f (x) 与 g(x) 在

?a,b? 上 是 非 接 近 的 . 现 在 有 两 个 函 数 f ( x?) tl o? xg (与t 3 )

g(

x)

?

logt

(

x

1 ?

t

)(t

?

0且t

?

1)

,现给定区间 [t

?

2,

t

?

3]

.

(1)若 t ? 1 ,判断 f (x) 与 g(x) 是否在给定区间上接近; 2

(2)若 f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值范围;

(3)讨论 f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上是否是接近的.

13.集合 A 是由具备下列性质的函数 f (x) 组成的:

(1) 函数 f (x) 的定义域是[0, ??) ;

(2) 函数 f (x) 的值域是[?2, 4) ;

(3) 函数 f (x) 在[0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题:

(Ⅰ)判断函数 f1(x) ?

x

? 2(x

? 0)

,及

f2 (x)

?

4 ? 6?(1)x (x 2

?

0)

是否属于集合

A?并简

要说明理由.

(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f (x) ,不等式 f (x) ? f (x ? 2) ? 2 f (x ?1) ,

是否对于任意的 x ? 0总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

14、设函数

f(x)=ax

2

+bx+1(a,b

为实数),F(x)=

?f ???

(x) f (x)

(x ? 0) (x ? 0)

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。
(2)在(1)的条件下,当 x? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。

(3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

15.函数 f(x)= x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b
(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

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函数大题专练答案

1、已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)(x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R 。

⑴试求不等式的解集 A ; ⑵对于不等式的解集 A ,若满足 A Z ? B(其中 Z 为整数集)。试探究集合 B 能否为有
限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由。 解:(1)当 k ? 0 时, A ? (??, 4) ;当 k ? 0 且 k ? 2时, A ? (??, 4) (k ? 4 , ??) ;
k 当 k ? 2 时, A ? (??, 4) (4, ??) ;(不单独分析 k ? 2 时的情况不扣分)

当 k ? 0 时, A ? (k ? 4 , 4) 。 k
(2)由(1)知:当 k ? 0 时,集合 B 中的元素的个数无限; 当 k ? 0 时,集合 B 中的元素的个数有限,此时集合 B 为有限集。 因为 k ? 4 ? ?4 ,当且仅当 k ? ?2 时取等号, k 所以当 k ? ?2 时,集合 B 的元素个数最少。
此时 A ? ??4, 4? ,故集合 B ? ??3, ?2, ?1,0,1, 2,3?。

2、对定义在[0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f (x) 称为 G 函数。 ① 对任意的 x ?[0, 1] ,总有 f (x) ? 0; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f (x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2) 成立。
已知函数 g(x) ? x2 与 h(x) ? a ? 2x ?1是定义在[0, 1] 上的函数。 (1)试问函数 g(x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h(x) 是 G 函数,求实数 a 的值;

(3)在(2)的条件下 ,讨论方程 g(2x ?1) ? h(x) ? m (m ? R) 解的个数情况。
解:(1) 当 x ??0,1? 时,总有 g(x) ? x2 ? 0 ,满足①,

当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,

g(x1

?

x2)

?

x12

?

x

2 2

?

2x1x 2

?

x12

?

x22

?

g(x1) ? g(x2 ) ,满足②

(2)若 a ?1时, h(0) ? a ?1 ? 0 不满足①,所以不是 G 函数;

若 a ?1时, h(x) 在 x ?[0,1] 上是增函数,则 h(x) ? 0 ,满足①

由 h(x1 ? x2 ) ? h(x1) ? h(x2 ) ,得 a ? 2x1?x2 ?1 ? a ? 2x1 ?1? a ? 2x2 ?1 , 即 a[1? (2x1 ?1)(2x2 ?1)] ? 1,

因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 所以 0 ? 2x1 ?1 ? 1 0 ? 2x2 ? 1 ? 1 x1 与 x 2 不同时等于 1
1 ?a ? 1? (2x1 ?1)(2x1 ?1)

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1



x1

?

x2

?

0

时, ( 1? (2x1

1 ? 1)( 2 x1

?1) )min

?1

?a ?1 ,

综合上述: a ?{1}

(3)根据(2)知: a=1,方程为 4x ? 2x ? m ,

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?0 ?

?

2x

?1

?

1



x ?[0,1]

?0 ? x ? 1

令 2x ? t ?[1, 2] ,则 m ? t2 ? t ? (t ? 1 )2 ? 1 24

由图形可知:当 m ?[0, 2] 时,有一解;

当 m ?(??, 0) ? (2, ??) 时,方程无解。

3.已知函数 f (x) ? 2x ? 1 . 2|x|
(1)若 f (x) ? 2 ,求 x 的值;

(2)若 2t f (2t) ? mf (t) ? 0 对于 t ?[2, 3] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

[解] (1)当 x ? 0 时, f (x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f (x) ? 2x ? 1 . 2x

由条件可知 2x ? 1 ? 2 ,即 22x ? 2 ? 2x ?1 ? 0 , 2x

解得 2x ?1 ? 2 .
? ? ? 2 x ? 0 ,? x ? log 2 1 ? 2 .

(2)当 t ?[1, 2 ]时, 2t ?? 22t
?

?1 2 2t

?? ? m?? 2t ??

?1 2t

?? ? 0 ,
?

? ? ? ? 即 m 22t ? 1 ? ? 24t ? 1 .

? ? ? 22t ? 1 ? 0 , ? m ? ? 22t ? 1 .

? ? t ?[2, 3], ? ? 1? 22t ?[ ? 65, ?17] ,

故 m 的取值范围是[ ?17, ? ? ) .

4.设函数

f

(x) 是定义在 R

上的偶函数.若当

x

? 0 时,

f

(x)

?

??1 ? ?

1 x

,

x

?

0;

??0, x ? 0.

(1)求 f (x) 在 (??, 0) 上的解析式.

(2)请你作出函数 f (x) 的大致图像.

(3)当 0 ? a ? b 时,若 f (a) ? f (b) ,求 ab 的取值范围.

(4)若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件.

[解](1)当 x ? (??,0) 时, f (x) ? f (?x) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .

?x

x

(2) f (x) 的大致图像如下:.

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4 3 2 1

-4

-2

2

4

6

-1

(3)因为 0 ? a ? b ,所以 f (a) ? f (b)

?

1? 1 a

? 1? 1 b

?

???1 ?

1 a

?2 ??

?

???1

?

1 b

?2 ??

?

1 ? 1 ? 2, ab

? a ? b ? 2ab ? 2 ab

解得 ab 的取值范围是 (1, ??) .

(4)由(2),对于方程 f (x) ? a ,当 a ? 0 时,方程有 3 个根;当 0 ? a ? 1时,方程

有 4 个根,当 a ? 1时,方程有 2 个根;当 a ? 0时,方程无解.…15 分

所以,要使关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,关于 f (x) 的方程

f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有一个在区间 (0,1) 的正实数根和一个等于零的根。

所以 c ? 0, f (x) ? ?b ? (0,1) ,即 ?1 ? b ? 0, c ? 0 .

5.已知函数 f (x) ? a ? b (x ? 0) 。 |x|

(1)若函数 f (x) 是 (0, ??) 上的增函数,求实数 b 的取值范围;

(2)当 b ? 2 时,若不等式 f (x) ? x 在区间 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)对于函数 g(x) 若存在区间[m, n](m ? n) ,使 x ?[m,n] 时,函数 g(x) 的值域也是

[m, n] ,则称 g(x) 是[m, n] 上的闭函数。若函数 f (x) 是某区间上的闭函数,试探

求 a, b 应满足的条件。 解:(1) 当 x ?(0, ??) 时, f (x) ? a ? b
x 设 x1, x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 , 由 f (x) 是 (0, ??) 上 的 增 函 数 , 则 f (x1) ? f (x2 )

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

b(x1 ? x2 ) x1x2

?

0

由 x1 ? x2 , x1, x2 ? (0, ??) 知 x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ,所以 b ? 0 ,即 b ? (0, ??)

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(2)当 b ? 2 时, f (x) ? a ? 2 ? x 在 x ? (1, ??) 上恒成立,即 a ? x ? 2

|x|

x

因为 x ? 2 ? 2 2 ,当 x ? 2 即 x ? 2 时取等号,

x

x

2 ? (1, ??) ,所以 x ? 2 在 x ? (1, ??) 上的最小值为 2 2 。则 a ? 2 2 x

(3)

因为 f (x) ? a ? b 的定义域是 (??, 0) |x|

(0, ??) ,设 f (x) 是区间[m, n] 上的闭函

数,则 mn ? 0且 b ? 0 (4) ①若 0 ? m ? n



b

?

0

时,

f

(x)

?

a

?

|

b x

|



(0, ??)

上的增函数,则

? ? ?

f f

(m) ? m (n) ? n



所以方程 a ? b ? x 在 (0, ??) 上有两不等实根, x

即 x2 ? ax ? b ? 0 在 (0, ??) 上有两不等实根,所以

?a2 ? 4b ? 0

? ?

x1

?

x2

?

a

?

0

,即 a

?

0, b

?

0 且 a2

? 4b

?

0

? ?

x1

?

x2

?

b

?

0

当 b?0 时 ,

f (x) ? a ? b ? a ? ?b

|x|

x



(0, ??)











?f

? ?

f

(m) ? n (n) ? m

,即

???a ? ???a

? ?

b m b n

?n ?m

?

?a ? ??mn

0 ?

?b

,所以

a

?

0,

b

?

0

②若 m ? n ? 0

当 b?0 时,

f (x) ? a ? b |x|

?a?

b x



(??,

0)

















? ? ?

f f

(m) ? n (n) ? m

,即

???a ? ?a

? ?

b m b

?n ?m

?

?a ? ??mn

0 ?

b

,所以

a

?

0,

b

?

0

?? n

6、设 f (x) ? ax2 ? bx ,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b ,使函数

f (x) 的定义域和值域相同。

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解:(1)若 a ? 0 ,则对于每个正数 b , f (x) ? bx 的定义域和值域都是[0,??)

故 a ? 0 满足条件

(2)若 a ? 0 ,则对于正数 b ,f (x) ?

ax2

?

bx

的定义域为

D

?

?? ? ?

?,?

b? a ??

?

?0,?? ? ,

但 f (x) 的值域 A ? ?0,??? ,故 D ? A,即 a ? 0 不合条件;

(3)若 a ? 0,则对正数 b ,定义域 D ? [0,? b ] a

( f (x)) max ?

2

b ?a



f (x) 的值域为[0, 2

b ],? b ?a a

?

2

b ?a

?a ? 0 ??
?2 ? a

? a ? ?4 ? ?a

综上所述: a 的值为 0 或 ? 4

7.对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R ,使 f (x0 ) ? x0 成立,则称点 (x0, x0 ) 为函数的不动点。

(1)已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a 与 b 的值;

(2)若对于任意实数 b ,函数 f (x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求 a 的
取值范围;
(3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g(x) 存在(有限的)n 个不动点,求证:n 必为奇数。

解:(1)由不动点的定义: f (x) ? x ? 0 ,∴ ax2 ? (b ?1)x ? b ? 0
代入 x ? 1知 a ? 1,又由 x ? ?3 及 a ? 1 知 b ? 3 。 ∴a ?1,b ? 3。
(2)对任意实数 b , f (x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,即是对任意的实

数 b ,方程 f (x) ? x ? 0 总有两个相异的实数根。

∴ ax2 ? (b ?1)x ? b ? 0 中 ? ? (b ?1)2 ? 4ab ? 0 ,

即 b2 ? (4a ? 2)b ? 1 ? 0 恒成立。故 ?1 ? (4a ? 2)2 ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? a ? 1。
故 当 0 ? a ? 1 时 , 对 任 意 的 实 数 b , 方 程 f (x) 总 有 两 个 相 异 的 不 动
点。 ………...................1’
(3) g(x) 是 R 上的奇函数,则 g(0) ? 0 ,∴(0,0)是函数 g(x) 的不动点。

若 g(x) 有异于(0,0)的不动点 (x0 , x0 ) ,则 g(x0 ) ? x0 。 又 g(?x0 ) ? ?g(x0 ) ? ?x0 ,∴ (?x0 ,?x0 ) 是函数 g(x) 的不动点。
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∴ g(x) 的有限个不动点除原点外,都是成对出现的,

所以有 2k 个( k ? N ),加上原点,共有 n ? 2k ?1个。即 n 必为奇数

8.设函数

f

(x)

?

x

?

1 ,(x x

?

0) 的图象为 C1 、C1 关于点

A(2,1)的对称的图象为 C2



C2 对应的函数为 g(x) .

(1)求函数 y ? g(x) 的解析式;

(2)若直线 y ? b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值并求出交点的坐标.

解.(1)设 p(u, v) 是 y ? x ? 1 上任意一点,?v ? u ? 1 ①

x

u



P

关于

A(2,1)对称的点为

Q(

x,

y),?

?u ??v

? ?

x y

? ?

4 2

?

?u ??v

? ?

4 2

? ?

x y

代入①得 2 ? y ? 4 ? x ? 1 ? y ? x ? 2 ? 1

4?x

x?4

? g(x) ? x ? 2 ? 1 (x ? (??,4) ? (4,??)); x?4

?y ? b

(2)联立

? ? ??

y

?

x

?

2

?

x

1 ?

4

?

x2

?

(b

?

6)x

?

4b

?9

?

0,

? ? ? (b ? 6)2 ? 4 ? (4b ? 9) ? b2 ? 4b ? 0 ? b ? 0 或 b ? 4, (1)当 b ? 0 时得交点(3,0); (2)当 b ? 4时得交点(5,4). 9.设定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 满足下面三个条件:

①对于任意正实数 a 、 b ,都有 f (a ?b) ? f (a) ? f (b) ?1;

② f (2) ? 0;

③当 x ? 1时,总有 f (x) ? 1. (1)求 f (1)及f ( 1 ) 的值;
2 (2)求证: f (x)在(0,??) 上是减函数.

解(1)取 a=b=1,则 f (1) ? 2 f (1) ?1. 故f (1) ?1

又 f (1) ? f (2? 1) ? f (2) ? f (1) ?1. 且 f (2) ? 0 .

2

2

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得: f (1) ? f (1) ? f (2) ?1 ? 1?1 ? 2 2

(2)设 0

?

x1

?

x2 , 则:

f

(x2 ) ?

f

( x1 )

?

f

( x2 x1

? x1) ?

f

( x1 )

?[ f

( x2 ) ? x1

f

(x1) ?1]

?

f

( x1 )

? f ( x2 ) ?1 x1

依0 ?

x1

?

x2 ,可得

x2 x1

?1

再依据当 x ? 1时,总有 f (x) ? 1成立,可得 f ( x2 ) ? 1 x1

即 f (x2 ) ? f (x1) ? 0 成立,故 f (x)在(0,??) 上是减函数。

10. 已知函数 f (x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ?[?2,0) 时, f (x) ? tx ? 1 x3( t 为
2
常数)。
(1)求函数 f (x) 的解析式;
(2)当 t ?[2,6]时,求 f (x) 在 ?? 2,0?上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f (x) 在 ?0,2?上的单调递增区间(不必证明);

(3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f (x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

解:(1) x ? ?0,2?时, ? x ? ?? 2,0?, 则 f (?x) ? t(?x) ? 1 (?x)3 ? ?tx ? 1 x3 , ∵函

2

2

数 f (x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,即 f ?? x? ? ? f ?x?,∴ ? f ?x? ? ?tx ? 1 x3 ,即
2

f (x) ? tx ? 1 x3 ,又可知 f ?0? ? 0 ,∴函数 f (x) 的解析式为 f (x) ? tx ? 1 x3 ,

2

2

x ? ?? 2,2?;

(2) f ?x? ? x??t ? 1 x2 ?? ,∵ t ?[2,6], x ? ?? 2,0?,∴ t ? 1 x2 ? 0 ,

? 2?

2



?f

?x??2

?

x2 ??t

?

1

x2

2
? ?

?

?? ?

x2

?

t

?

1 2

x2

?

t

?

1 2

x2

?3 ? ?

?

8t 3

,∴ x2

?

t

?

1

x2



? 2 ? ??

3

?? 27

2

?

?

即 x2 ? 2t , x ? ? 6t (? 33

6t 3

? ?? 2,0?) 时,

f min

?

?

26 9

t

t



猜想

f

(x)

在 ?0,2?上的单调递增区间为

? ?0,

?

6t 3

?
? ?



(3) t ? 9 时,任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ,∵

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? ? f ?x1 ??

f

?x2

?

?

?x1

?

x2

????t

?

1 2

x12

? x1x2

? x22

? ??

?

0



∴ f ?x? 在 ?? 2,2?上单调递增,即 f ?x??? f ?? 2?, f ?2??,即 f ?x???4 ? 2t,2t ? 4?,t ? 9 ,

∴ 4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14,

∴14 ? ?4 ? 2t,2t ? 4?,∴当 t ? 9 时,函数 y ? f (x) 的图象上至少有一个点落在直线

y ? 14 上。

11.记函数 f ?x? ? 2 ? x ? 7 的定义域为 A ,g?x? ? lg??2x ? b??ax ?1???b ? 0, a ? R? 的定
x?2
义域为 B , (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围

解:(1) A ? ??x 2 ? ?

x?7 x?2

?

0?? ? ?

??x ?

x?3 x?2

?

0?? ? ?

?? ?,?2?? ?3,???,

(2) ?2x ? b??ax ?1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ? b orx ? ? 1 ,即

2

a

B ? ?? ? ?,? 1 ?? ? ?? b ,?? ?? ,

?

a? ?2 ?

???0 ? ????

? 2

b 2
?

?3 ?1
a

?

0

?

??a ? ??0

? ?

1 2 b?

6



12 对于在 ?a,b? 上有意义的两个函数 f (x) 与 g(x) ,如果对任意的 x ?[a,,b] ,均有

?1 ? f (x) ? g(x) ? 1,则称 f (x) 与 g(x) 在 ?a,b? 上是接近的,否则称 f (x) 与 g(x) 在

?a,b? 上 是 非 接 近 的 . 现 在 有 两 个 函 数 f ( x?) tl o? xg (与t 3 )

g(

x)

?

logt

(

x

1 ?

t

)(t

?

0且t

?

1)

,现给定区间 [t

?

2,

t

?

3]

.

(1)若 t ? 1 ,判断 f (x) 与 g(x) 是否在给定区间上接近; 2

(2)若 f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值范围;

(3)讨论 f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上是否是接近的.

解:(1)当 t

?

1 2

时,

f

(x) ?

g(x)

?

log1 [(x
2

?

3)(x 2

?

1 )] 2

?

log1 [(x
2

?1)2

?

1] 4



h(x)

?

log

1 2

[(

x

?1)2

?

1] 4

,当

x

?[

5 2

,

7] 2

时,

h(x)

?[log

1 2

6,

? 1]

即| f (x) ? g(x) |? 1, f (x) 与 g(x) 是否在给定区间上是非接近的. ………………4 分

(2)由题意知, t ? 0 且 t ? 1, t ? 2 ?3t ? 0 , t ? 2 ?t ? 0

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?0 ? t ?1

………………4 分

(3) | f (x) ? g(x) |?| logt (x2 ? 4tx ? 3t 2 ) |

假设 f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上是接近的,则有| logt (x2 ? 4tx ? 3t2 ) |? 1

??1 ? logt (x2 ? 4tx ? 3t2 ) ? 1

…………(*)

令 G(x)= logt (x2 ? 4tx ? 3t2 ) ,当?0 ? t ?1时,[t ? 2,t ? 3] 在 x ? 2t 的右侧,

即 G(x)= logt (x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ,在[t ? 2,t ? 3] 上为减函数,

?G(x)max ? logt (4 ? 4t) ,?G(x)min ? logt (9 ? 6t)

所以由(*)式可得

?0 ? t ? 1 ??logt (4 ? 4t) ? 1 ??logt (9 ? 6t) ? ?1

,解得 0 ? t ? 9 ? 57 12

因此,当 0 ? t ? 9 ? 57 时, f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上是接近的; 12

当 t ? 9 ? 57 时, f (x) 与 g(x) 在给定区间[t ? 2,t ? 3] 上是非接近的. ………14 分 12

13.集合 A 是由具备下列性质的函数 f (x) 组成的:

(1) 函数 f (x) 的定义域是[0, ??) ;

(2) 函数 f (x) 的值域是[?2, 4) ;

(3) 函数 f (x) 在[0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题:

(Ⅰ)判断函数 f1(x) ?

x

?

2(x

?

0)

,及

f2 (x)

?

4

?

6?(1)x(x 2

?

0)

是否属于集合

A?并简

要说明理由.

(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f (x) ,不等式 f (x) ? f (x ? 2) ? 2 f (x ?1) ,

是否对于任意的 x ? 0总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

解:(1)函数 f1 (x) ? x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1(x) 的值域是 [?2,??),所以函数

f1 (x) ? x ? 2 不属于集合 A.(或 当x ? 49 ? 0时, f1(49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.)

f

2

(

x)

?

4

?

6

?

(

1 2

)

x

(x ? 0) 在集合 A 中,

因为: ①

函数

f2 (x) 的定义域是[0, ??) ;②



数 f2 (x) 的值域是[?2, 4) ;③ 函数 f2 (x) 在[0, ??) 上是增函数.

(2) f (x) ? f (x ? 2) ? 2 f (x ?1) ? 6 ? (1) x (? 1) ? 0 , 24
?不等式f (x) ? f (x ? 2) ? 2 f (x ?1) 对于任意的 x ? 0总成立

14、设函数

f(x)=ax

2

+bx+1(a,b

为实数),F(x)=

?f ???

(x) f (x)

(x ? 0) (x ? 0)

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。
(2)在(1)的条件下,当 x? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。

(3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

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解:(1)?f(-1)=0 ∴ b ? a ?1由 f(x) ? 0 恒成立 知△=b 2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1) 2 ? 0

∴a=1 从而 f(x)=x 2 +2x+1

?(x ?1)

∴F(x)=

? ??

(

x

?

1)

2

(x ? 0)

(x ? 0)

? ? (2)由(1)可知 f(x)=x 2 +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x 2 +(2-k)x+1,由于 g(x)在 ? 2,2 上是

单调函数,知- 2 ? k ? ?2 或- 2 ? k ? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 ,

2

2

(3)?f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而 a>0∴ f (x) 在 ?0,??? 上为增函数

对 于 F(x) , 当 x>0 时 -x<0 , F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) , 当 x<0 时 -x>0 ,

F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ??上为增函数,

?m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。

15.函数 f(x)= x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b
(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

解 (1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 x =x 的解, ax ? b

所以 1 =1 无解或有解为 0,若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾,若有解为 0,则 ax ? b

b=1,所以 a= 1 。 2

(2)f(x)= 2x ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2

取 x=0 , 则 f(0)+f(m–0)=4 , 即 2m =4 , m= –4( 必 要 性 ) , 又 m= –4 时 , m?2

f(x)+f(–4–x)= 2x ? 2(?4 ? x) =……=4 成立(充分性) ,所以存在常数 m= –4,使得对定 x?2 ?4?x?2
义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立,

(3)|AP|2=(x+3)2+( x ? 2 )2,设 x+2=t,t≠0, 则 x?2

|AP|2=(t+1)2+( t ? 4 )2=t2+2t+2– 8 + 16 =(t2+ 16 )+2(t– 4 )+2=(t– 4 )2+2(t– 4 )+10=( t– 4 +1)2+9

t

t t2

t2

t

t

t

t



所以当 t– 4 t

+1=0 时即 t= ?1? 2

17

,也就是 x= ? 5 ? 2

17

时,|AP| min = 3



16、已知函数

f

(x)

?

2 x

?

log 2

1 ? mx 1? x

是奇函数。

(1)求 m 的值;

(2)请讨论它的单调性,并给予证明。

解(1)? f (x) 是奇函数,? f (?x) ? f (x) ? 0 ;



(?

2 x

?

log

2

1? mx) 1? x

?

(

2 x

?

log

2

1? mx) 1? x

?

0

,解得:

m

?

1,其中

m

?

?1(舍);

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经验证当 m

? 1时,

f

(x)

?

2 x

? log 2

1? 1?

x x

(x

? ??1,0?? ?0,1?)

确是奇函数。

(2)先研究 f (x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1),且设 x1<x2 ,则

f

(x1 ) ?

f

(x2 )

?

2 x1

? log 2

1? 1?

x1 x1

?

2 x2

? log 2

1? 1?

x2 x2

22

2

2

?

(

x1

?

x2

)

?

[log

2

( 1

?

x2

?

1)

?

log

2

( 1

?

x1

? 1)],

由2 x1

?

2 x2

?

0,

log

2

( 1

2 ? x2

?

1)

?

log

2

( 1

2 ? x1

?1) ? 0,

得 f (x1 ) ? f (x2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减;

由于 f (x) 是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数 f (x) 在(-1,0)内单调递减。

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