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云南省大理州南涧民族中学2016-2017学年高一下学期6月月考数学试卷Word版含解析


2016-2017 学年云南省大理州南涧民族中学高一(下)6 月月考数学试卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则 A∩B 中元素的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 3.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ()
A. B. C. D. 4.设非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |则( ) A. ⊥ B.| |=| | C. ∥ D.| |>| |

5.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一 平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )

A.90π B.63π C.42π D.36π 6.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在 这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )

A.

B.

C.

D.

7.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽得 的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )

A.

B. C.

D.

8.设函数 f(x)=cos(x+

),则下列结论错误的是( )

A.f(x)的一个周期为﹣2π

B.y=f(x)的图象关于直线 x=

对称

C.f(x+π )的一个零点为 x=

D.f(x)在(

,π )单调递减

9.如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n>1000 的最小偶数 n,那么在



两个空白框中,可以分别填入( )

A.A>1 000 和 n=n+1 B.A>1 000 和 n=n+2 C.A≤1 000 和 n=n+1 D.A≤1 000 和 n=n+2 10.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体 积为( )

A.π B.

C.

D.

11.函数 f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若 f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x ﹣2)≤1 的 x 的取值范围是( ) A. B. C. D.

12.函数 y=

的部分图象大致为( )

A



B



C



D.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.已知向量 , 的夹角为 60°,| |=2,| |=1,则| +2 |=



14.已知 α ∈(0,

),tanα =2,则 cos(α ﹣

)=



15.函数 f(x)=sin2x+

cosx﹣ (x∈)的最大值是



16.设函数 f(x)=

值范围是



,则满足 f(x)+f(x﹣ )>1 的 x 的取

三、解答题:(本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知| |=2,| |=1,(2 ﹣3 )?(2 + )=9. (1)求向量 与 的夹角 θ ; (2)求| + |和 cos< , + >的值.

18.已知函数 f(x)=sin2ω x+

sinω xsin(ω x+

)(ω >0)的最小正周期为 π .

(1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间上的取值范围. 19.《中国谜语大会》是中央电视台科教频道的一档集文化、益智、娱乐为一体的大型电视竞 猜节目,目的是为弘扬中国传统文化、丰富群众文化生活.为选拔选手参加“中国谜语大会”, 某地区举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛选手的成绩情况,从中抽取了部分 选手的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.按照 B. C. D. 【考点】3P:抽象函数及其应用. 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式﹣1≤f(x﹣2)≤1 化为﹣1≤x﹣2≤1, 解得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)为奇函数. 若 f(1)=﹣1,则 f(﹣1)=1, 又∵函数 f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,﹣1≤f(x﹣2)≤1, ∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1), ∴﹣1≤x﹣2≤1, 解得:x∈, 故选:D

12.函数 y=

的部分图象大致为( )

A



B



C



D.

【考点】3O:函数的图象. 【分析】判断函数的奇偶性排除选项,利用特殊值判断即可.

【解答】解:函数 y=



可知函数是奇函数,排除选项 B,

当 x=

时,f(

)=

=

,排除 A,

x=π 时,f(π )=0,排除 D. 故选:C.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.已知向量 , 的夹角为 60°,| |=2,| |=1,则| +2 |= 2



【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.

【解答】解:【解法一】向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,



=

+4 ? +4

=22+4×2×1×cos60°+4×12

=12,

∴| +2 |=2



【解法二】根据题意画出图形,如图所示;

结合图形 = + = +2 ; 在△OAC 中,由余弦定理得

| |=

即| +2 |=2



故答案为:2



=2



14.已知 α ∈(0,

),tanα =2,则 cos(α ﹣

)=



【考点】GP:两角和与差的余弦函数;GG:同角三角函数间的基本关系.

【分析】根据同角的三角函数的关系求出 sinα =

,cosα =

,再根据两角差

的余弦公式即可求出.

【解答】解:∵α ∈(0,

),tanα =2,

∴sinα =2cosα , ∵sin2α +cos2α =1,

解得 sinα =

,cosα =



∴cos(α ﹣

)=cosα cos

+sinα sin

=

×

+

×

=



故答案为:

15.函数 f(x)=sin2x+

cosx﹣ (x∈)的最大值是 1 .

【考点】HW:三角函数的最值. 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出.

【解答】解:f(x)=sin2x+

cosx﹣ =1﹣cos2x+

cosx﹣ ,

令 cosx=t 且 t∈,

则 y=﹣t2+

t+ =﹣(t﹣

)2+1,

当 t=

时,f(t)max=1,

即 f(x)的最大值为 1, 故答案为:1

16.设函数 f(x)=

,则满足 f(x)+f(x﹣ )>1 的 x 的取

值范围是 (

,+∞) .

【考点】3T:函数的值. 【分析】根据分段函数的表达式,分别讨论 x 的取值范围,进行求解即可.

【解答】解:若 x≤0,则 x﹣ ≤﹣ ,

则 f(x)+f(x﹣ )>1 等价为 x+1+x﹣ +1>1,即 2x>﹣ ,则 x>



此时

<x≤0,

当 x>0 时,f(x)=2x>1,x﹣ >﹣ ,

当 x﹣ >0 即 x> 时,满足 f(x)+f(x﹣ )>1 恒成立,

当 0≥x﹣ >﹣ ,即 ≥x>0 时,f(x﹣ )=x﹣ +1=x+



此时 f(x)+f(x﹣ )>1 恒成立,

综上 x>



故答案为:(

,+∞).

三、解答题:(本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知| |=2,| |=1,(2 ﹣3 )?(2 + )=9.

(1)求向量 与 的夹角 θ ;

(2)求| + |和 cos< , + >的值.

【考点】9R:平面向量数量积的运算.

【分析】(1)根据向量数量积的公式进行转化求解即可.

(2)根据向量模长公式以及向量数量积的关系进行转化求解.











:(

1









所以

,即 16﹣8cosθ ﹣3=9,





因为 θ ∈,所以



(2)由(1)得知



所以

,)

因为 所

, 以



18.已知函数 f(x)=sin2ω x+

sinω xsin(ω x+

)(ω >0)的最小正周期为 π .

(1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间上的取值范围. 【考点】HJ:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;GL:三角函数中的恒等变换应用.

【分析】(Ⅰ)先根据倍角公式和两角和公式,对函数进行化简,再利用 T=

,进而求

得ω (Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数 f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性进而求得函数 f(x)的 范围.

【 解 答 】 解 :( Ⅰ )

=

=



∵函数 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0,



,解得 ω =1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得














, . ,即 f(x)的取值范围为

19.《中国谜语大会》是中央电视台科教频道的一档集文化、益智、娱乐为一体的大型电视竞 猜节目,目的是为弘扬中国传统文化、丰富群众文化生活.为选拔选手参加“中国谜语大会”, 某地区举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛选手的成绩情况,从中抽取了部分 选手的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.按照[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100)的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图 中仅列出得分在[50,60),[90,100)的数据).

(I)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x,y 的值; (II)分数在[80,90)的学生中,男生有 2 人,现从该组抽取三人“座谈”,求至少有两名 女生的概率. 【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B8:频率分布直方图. 【分析】(Ⅰ)求出样本容量,从而求出 x,y 的值即可;(Ⅱ)男生 2 人,女生 3 人,分别设 编号为 b1,b2 和 a1,a2,a3,列出从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件,记事件 A“至少 有两名女生”,列出事件 A 包含的基本事件,从而求出满足条件的概率即可.

【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,样本容量







∴x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030. ∴n=50,x=0.030,y=0.004; (Ⅱ)分数在[80,90)的学生共有 5 人,由题意知,其中男生 2 人,女生 3 人, 分别设编号为 b1,b2 和 a1,a2,a3, 则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件: (a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a3,b1),(a2,a3,b1),(a1,a2,b2), (a1,a3,b2),(a2,a3,b2),(b1,b2,a1 ),(b1,b2,a2),(b1,b2,a3),共计 10 个, 记事件 A“至少有两名女生”,则事件 A 包含的基本事件: (a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a3,b1),(a2,a3,b1),(a1,a2,b2), (a1,a3,b2),(a2,a3,b2),共计 7 个.

所以,至少有两名女生的概率为 P(A)=



20.已知圆 C 经过点 A(1,3)、B(2,2),并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 ? =12,求 k 的值. 【考点】J1:圆的标准方程;9R:平面向量数量积的运算. 【分析】(1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.由圆 C 被直线平分可得 3a﹣2b=0, 结合点 A、B 在圆上建立关于 a、b、r 的方程组,解出 a、b、r 的值即可得到圆 C 的方程; (2)(I)由题意,得直线 l 方程为 kx﹣y+1=0,根据直线 l 与圆 C 有两个不同的交点,利用 点到直线的距离建立关于 k 的不等式,解之即可得到实数 k 的取值范围; (II)直线 l 方程与圆 C 方程联解消去 y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.设 M(x1,y1)、N ( x2 , y2 ), 利 用 根 与 系 数 的 关 系 、 直 线 l 方 程 和 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 公 式 , 化 简
? =12 得到关于 k 的方程,解之即可得到 k 的值. 【解答】解:(1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 ∵圆 C 被直线 m:3x﹣2y=0 平分,∴圆心 C(a,b)在直线 m 上,可得 3a﹣2b=0…①,

又∵点 A(1,3)、B(2,2)在圆上,∴



②, 将①②联解,得 a=2,b=3,r=1. ∴圆 C 的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1; (2)过点 D(0,1)且斜率为 k 的直线 l 方程为 y=kx+1,即 kx﹣y+1=0, (I)∵直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N, ∴点 C(2,3)到直线 l 的距离小于半径 r,



,解之得

<k<



(II)由

消去 y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.

设直线 l 与圆 C 有两个不同的交点坐标分别为 M(x1,y1)、N(x2,y2),

可得 x1+x2=

,x1x2=



∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=

+

+1,

∵?=

+(

+

+1)=12,解之得 k=1.

21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.

【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

【分析】(1)推导出 AB⊥PA,CD⊥PD,从而 AB⊥PD,进而 AB⊥平面 PAD,由此能证明平面 PAB

⊥平面 PAD.

(2)设 PA=PD=AB=DC=a,取 AD 中点 O,连结 PO,则 PO⊥底面 ABCD,且 AD=



PO=

,由四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ,求出 a=2,由此能求出该四棱锥的侧面积.

【解答】证明:(1)∵在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠BAP=∠CDP=90°, ∴AB⊥PA,CD⊥PD, 又 AB∥CD,∴AB⊥PD, ∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面 PAD, ∵AB? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD. 解:(2)设 PA=PD=AB=DC=a,取 AD 中点 O,连结 PO, ∵PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,平面 PAB⊥平面 PAD,

∴PO⊥底面 ABCD,且 AD=

=

,PO=



∵四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ,

∴VP﹣ABCD=

=

=

=

=,

解得 a=2,∴PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2

,PO=



∴PB=PC=

=2



∴该四棱锥的侧面积:

S 侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC

=

+

+

+

=

=6+2



22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,

未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求

量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高

气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确

定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为

450 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率.

【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CB:古典概型及其概率计算公式.

【分析】(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间[20,25)和最高

气温低于 20 的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率.

(2)当温度大于等于 25°C 时,需求量为 500,求出 Y=900 元;当温度在[20,25)°C 时,

需求量为 300,求出 Y=300 元;当温度低于 20°C 时,需求量为 200,求出 Y=﹣100 元,从而

当温度大于等于 20 时,Y>0,由此能估计估计 Y 大于零的概率.

【解答】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,

得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于 20 的天数为 2+16+36=54,

根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.

如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶,

如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶, 如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶,

∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p=

=.

(2)当温度大于等于 25°C 时,需求量为 500, Y=450×2=900 元, 当温度在[20,25)°C 时,需求量为 300, Y=300×2﹣×2=300 元, 当温度低于 20°C 时,需求量为 200, Y=400﹣×2=﹣100 元, 当温度大于等于 20 时,Y>0, 由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于 20°C 的天数有: 90﹣(2+16)=72,

∴估计 Y 大于零的概率 P=



2017 年 8 月 7 日



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