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北京市朝阳区2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷及答案

发布时间:

北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高一年级统一考试

数学试卷

2016.1

(考试时间 100 分钟 满分 120 分)

第一部分(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

(1)下列各组中的两个集合 A 和 B ,表示同一集合的是

(A) A ? {π}, B ? {3.14159}

(B) A ? {2, 3} , B ? {(2, 3)} (C) A ? { x | ?1 ? x ≤1, x ? Z}, B ? {1}

(D) A ? {1, 3, π}, B ? { π, 1, | ? 3 |}

(2)若 a ? b , c ? R ,则下列不等式中成立的是

(A) ac ? bc

(B) a ? 1 b

(C) 1 ? 1 ab

(D) ac2 ≥ bc2

(3)函数 f (x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下

表:

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

f (1.375) ? ?0.260

f (1.438) ? 0.165

那么方程 x3 ? x2 ? 2x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度 0.1 )为

(A)1.2

(B)1.3

(C)1.4

(4)某程序框图如图所示,若输出的 S ? 57 ,则判断框内为

(A) k ? 4 ?

(B) k ? 5 ?

(D)1.5

(C) k ? 6 ?

(D) k ? 7 ?

1

(5)给定函数① y ? x2 ,② y ? log1 (x ?1) ,③ y ?| x2 ? 2x | ,④ y ? ( 5)x ,



2

6

中在区间 (0, 1) 上单调递减的函数序号是

(A)①④

(B)②④

(C)②③

(D)①③

(6)已知 a ? 0.3 , b ? 20.3 , c ? 0.30.2 ,则 a , b , c 三者的大小关系是

(A) b ? c ? a (C) a ? b ? c

(B) b ? a ? c (D) c ? b ? a

(7)函数 y ? xa x ( 0 ? a ?1)的图象的大致形状是 x

(8)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10 株树苗,用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数 x甲 ,x乙 和
方差进行比较,下面结论正确的是

(A) x甲 > x乙 ,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 (B) x甲 < x乙 ,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 (C) x甲 < x乙 ,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 (D) x甲 > x乙 ,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 (9)右图是王老师锻炼时所走的离家距离( S )与行走时间( t )之间的函数关系图,若用黑点表
示王老师家的位置,则王老师行走的路线可能是

(10)已知函数 f (x) ? a(x ? a)(x ? a ? 3) , g(x) ? 2x ? 2 ,若对任意 x ?R ,总有 f (x) ? 0 或

g(x) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是

(A) (??, ? 4)

(B)[?4, 0)

(C) (?4, 0)

(D) (?4, ? ?)

第二部分(非选择题 共 70 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

(11)已知函数

f

(x)

?

?log ??3x ,

2

x,

x ? 0, x ≤ 0,

则 f ( 1 ) 的值是________. 4

(12)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单

位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).

由图中数据可知 a ?

.若要从身高在

[120, 130) ,[130, 140) ,[140, 150]三组内的学

生中,用分层抽样的方法选取18 人参加一项活动,

则从身高在[140, 150]内的学生中选取的人数应为

.

(13)设 0 ? x ? 3 ,则函数 y ? 4x(3 ? 2x) 的最大值为



2

(14)如图,一不规则区域内,有一边长为1米的正方形,向区域内随

机地撒1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数

为 360 颗,以此实验数据1000 为依据可以估计出该不规则图形的

面积为

平方米.(用分数作答)

(15)若函数 f (x) ?

x2

的图象关于 y 轴对称,则 a ?



(2x ?1)(x ? a)

(16)关于函数

f

(x)

?

?1, ??0,

x为有理数,
有以下四个命题:
x为无理数,

①对于任意的 x ?R ,都有 f ( f (x)) ? 1;
②函数 f (x) 是偶函数;
③若T 为一个非零有理数,则 f (x ? T ) ? f (x) 对任意 x ?R 恒成立;

④在 f (x) 图象上存在三个点 A , B , C ,使得 ?ABC 为等边三角形.

其中正确命题的序号是



三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分. (17)(本题满分 9 分)
已知函数 f (x) ? 4x ? 5 ? x2 的定义域为集合 A ,函数 g(x) ? lg(?x2 ? 2x ? m) 的定义域为集 x ?1
合B. (Ⅰ)当 m ? 3 时,求 A ?R B ;
(Ⅱ)若 A B ? ? x | ?1? x ? 4? ,求实数 m 的值.

(18)(本题满分 9 分) 空气质量指数 PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,表
示空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250

空气质量级别 一级

二级

三级

四级

五级

六级

空气质量类别





轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

某市 2013 年 3 月 8 日—4 月 7 日(30 天)对空气质量 指数 PM2.5 进行检测,获得数据后整理得到如下条形图: (Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (Ⅱ)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个,求
至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.

(19)(本题满分 10 分)
已知定义域为 R 的单调减函数 f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? x ? 2x . 3
(Ⅰ)求 f (0) 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的解析式;
(Ⅲ)若对任意的 t ?R ,不等式 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(20)(本题满分 12 分)
定 义 在 (0, ? ?) 上 的 函 数 f (x) , 如 果 对 任 意 x ? (0, ? ?) , 都 有 f (kx) ? k f (x)
( k ≥ 2, k ? N* )成立,则称 f (x) 为 k 阶伸缩函数.

(Ⅰ)若函数 f (x) 为二阶伸缩函数,且当 x ? (1, 2] 时, f (x) ? 1? log1 x ,求 f (2 3) 的值;
3
(Ⅱ)若函数 f (x) 为三阶伸缩函数,且当 x ? (1, 3] 时, f ( x) ? 3x? x2 ,求证:函数
y ? f (x) ? 2x 在 (1, ? ?) 上无零点;
(Ⅲ)若函数 f (x) 为 k 阶伸缩函数,且当 x ? (1, k] 时, f (x) 的取值范围是[0, 1) ,求 f (x) 在
(0, k n?1]( n ? N* )上的取值范围.

北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高一年级统一考试
数学试题答案及评分标准 2016.1

第一部分(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 D

D

C

A

B

A

D

B

C

C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

题号

11

12

13

14

答案

?2 0.030 3

9

25

2

9

注:(12)题第一空 3 分,第二空 2 分.

15

16

?1

①②③④

2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.
(17)解:(Ⅰ)由 f (x) ? 4x ? 5 ? x2 的定义域得 A ? ? x | ?1? x ≤5?.
x ?1
当 m ? 3 时, B ? ?x | ?1? x ? 3? , 则 ?RB ? ? x | x ≤ ?1,或 x ≥3}.

所以 A ?RB ? ? x | 3≤ x ≤5? . ……………………………… 6 分

(Ⅱ)因为 A ? { x | ?1? x ≤5} , A B ? ?x | ?1? x ? 4?,

所以有 ?42 ? 2? 4 ? m ? 0 . 解得 m ? 8 .
此时 B ? ? x | ?2 ? x ? 4?,符合题意.

所以 m ? 8 .

……………………………… 9 分

(18)解:(Ⅰ)由条形监测图可知,空气质量级别为良的天数为 16 天,

所以此次监测结果中空气质量为良的概率为 16 = 8 ; 30 15

………3 分

(Ⅱ)样本中空气质量级别为三级的有 4 天,设其编号为 a , b , c , d ;

样本中空气质量级别为四级的有 2 天,设其编号为 e , f ,

则基本事件有:

(a, b) ,(a, c) ,(a, d) ,(a, e) ,(a, f ) ,(b, c) ,(b, d) ,(b, e) ,(b, f ) ,(c, d) ,(c, e) ,

(c, f ) , (d, e) , (d, f ) , (e, f ) 共 15 个.

其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有:

(a, e) , (b, e) , (c, e) , (d, e) , (a, f ) , (b, f ) , (c, f ) , (d, f ) , (e, f )

共 9 个.
所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为 9 ? 3 . 15 5

……………9 分

(19)解:(Ⅰ)因为定义域为 R 的函数 f (x) 是奇函数,

所以 f (0) ? 0 .

……………………………………2 分

(Ⅱ)因为当 x ? 0 时, ?x ? 0 , 所以 f (?x) ? ?x ? 2?x . 3
又因为函数 f (x) 是奇函数,所以 f (?x) ? ? f (x) .

所以 f (x) ? x ? 2?x . 3

综上,

f

(x)

?

? ? ?

x 3

?

?0,

2x ,

x ? 0, x ? 0,

? ?

x

?

2?

x

,

x ? 0.

?3

……………………………………6 分

(Ⅲ)由 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t2 ? 2t) ? ? f (2t2 ? k) .

因 为 f (x) 是 奇 函 数 , 所 以 f (t2 ? 2t) ? f (k ? 2t2 ) . 又 f (x) 在 R 上 是 减 函 数 , 所 以

t2 ? 2t ? k ? 2t2 .

即 3t2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ?R 恒成立.

【方法一】令 3t2 ? 2t ? k ? 0 ,则 ? ? 4 ?12k ? 0 .由 ? ? 0 ,解得 k ? ? 1 .
3
【方法二】即 k ? 3t2 ? 2t 对任意 t ?R 恒成立. 令 g(t) ? 3t2 ? 2t , t ?R

则 g(t) ? 3t2 ? 2t ? 3(t2 ? 2 t) ? 3(t ? 1)2 ? 1 ? ? 1

3

333

?k ? ?1 3

故实数 k 的取值范围为 (??, ? 1) . 3

……………………………………10 分

(20)解:(Ⅰ)由题设,当 x ? (1, 2] 时, f (x) ? 1? log1 x ,
3

所以 f (

3 )=1+log 1
3

3 ?1? 1 ? 1 . 22

因为函数 f (x) 为二阶伸缩函数,

所以对任意 x ? (0, ? ?) ,都有 f (2x) ? 2 f (x) .

所以 f (2 3) ? 2 f ( 3) ? 1.

……………………………4 分

(Ⅱ)当 x ? (3m ,

3m?1 ]



m

?

N?

)时,

x 3m

? (1,

3] .

由 f (x) 为三阶伸缩函数,有 f (3x) ? 3 f (x) .

注意到 x ? (1, 3]时, f (x) ? 3x ? x2 .

所以

f

(x)

?

3

f

(x) 3

?

32

f

x ( 32

)

?

???

?

3m

f

x ( 3m

)

?

3m

3

?

(

x 3m

)

?

(

x 3m

)2

?

3m?1 ? x ? x2 .

令 f (x) ? 2x ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 3m ,它们均不在 (3m , 3m?1] 内. ……7 分

所以函数 y ? f (x) ? 2x 在 (1, ? ?) 上无零点. ……………………………8 分 (Ⅲ) 由题设,若函数 f (x) 为 k 阶伸缩函数,有 f (kx) ? kf (x) ,

且当 x ? (1, k] 时, f (x) 的取值范围是[0, 1) .

所以当 x ? (k n ,

k n?1 ] 时,

f

(x)

?

kn

f

(

x kn

)



因为 x kn

? (1,

k],

所以

f

(

x kn

)

?

[0,1)



所以当 x ? (k n , k n?1 ] 时, f (x) ?[0, k n ) .

当 x ? (0, 1]时,即 0 ? x ? 1,



?k

(k

?

2, k

?

N?)

使0

?

1 k

?

x

?

1,

?1? kx ? k ,即 kx ? (1, k] ,

? f (kx) ?[0,1) .



f

(x) ?

1 k

f (kx) ,

?

f

(x)

?

1 k

f

(kx)

?

[0,

1 k

)

,即

f

(x) ?[0, 1) . k

因为 k ≥ 2 ,

所以 f (x) 在 (0, k n?1]( n ? N* )上的取值范围是[0, k n ) .……………12 分



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