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2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件8 新人教B版选修1-1_图文


1、理解椭圆的定义并掌握椭圆的标准方 程
2、能够根据给定条件求椭圆的标准方程

椭圆形的尖嘴瓶

椭圆形的餐桌

椭圆形的精品

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

太阳系

如何画一个标准的椭圆?

试一试:取一条一定长的细绳,

把它的两端固定在画图板上的F1和F2 两点,当绳长大于F1和F2的距离时, 用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板

上慢慢移动.

M

F1 F2

?椭圆的定义:

文字表述
§ 平面上到两个定点的 距离的和(2a)等于 常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫椭圆。
§ 定点F1、F2叫做椭圆的 焦点。
§ 两焦点之间的距离叫 做焦距(2c)。

符号表述
M F 1?M F2?2a?F 1F2
为什么 2a > F1F2 ? 如果 2a = F1F2 , 2a < F1F2 ,
轨迹还是椭圆吗?

当2a=2c时,即距离之和等于焦距时 线段

当2a<2c时,即距离之和小于焦距时 无轨迹

椭圆标准方程的推导

化 列设建简式点系

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值,设为2a,则2a>2c
y
则: ?x+c?2+y2+?x-c P?(2 x+ , yy)2=2a

? ?x+ c?2+y2 F= 1? -2 c a , 0-? O?x-Fc 2??2 c + , 0 ?y2 x

? ?x + c ?2 + y 2 = 4 a 2 -4 a ?x - c ?2 + y 2? ?x -c ?2 + y 2

? 设a2-Pcx(=xa,?yx-)c是?2椭+y圆2 上任意一点

? 设的设?a 垂a 2 F2- -直c 1以c2 F2 ?平x = =F2 b 21+ 分2c、a ?,2 b 线y F> 2 则2为= 0所?a 有得2 y?在a F轴2 1直- (bc 建-22 cx线?2,立+为a02直y)2、x=角a轴2Fb坐22,(c标,线系0段).F1F2

即:

x2

y2 +

=1 ?a>b>0?

a2 b2

椭圆标准方程

焦点在x轴上

x2 a2

?b y2 2

?1

(a?b?0)

焦点在y轴上

y2 x2 a2 ?b2 ?1(a?b?0)

标准方程



图形





x2

y2 +

=1?a>b>0?

a2 b2

y P

F1 O F2

x

x2

y2 +

=1?a>b>0?

b2 a2

y

F2

P

O

x

F1

焦点坐标

F 1?-c,0?, F 2?c,0? F 1?0?,?-c?, F 2?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 =b2 +c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

一、根据椭圆的标准方程,判断并求椭圆焦点坐标

例 1、判断下列椭圆焦点在哪个轴上,并写出焦点坐标

(1) x2 ? y2 ? 1 36 24
(2) x2 ? y2 ? 1 144 169

x 轴, (± 2 3, 0) y 轴, (0,± 5)

规律总结: 分母那个大, 就在那个轴上。

(3)

x2 m2

?

y2 m2 ?1

?1

(4) ?2x2 ? 3y2 ? ?1

y 轴, (0,± 1)

x2 + y2 = 1 11 23

x 轴, (± 6 0) 6

变式训练1:
1、 已知椭圆的方程为: x2 ? y2 ? 1,请填空: 25 16
(1) a=_5_,b=_4_,c=_3_,焦点坐标为(_-_3_,0__)、__(_3_,_0_),焦距等于_6_.
(2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,
并且CF1=2,则CF2=__8_. 2、已知方程 x2 ? y2 ? 1 表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取
4m
值范围是 (0,4) .

二、求椭圆的标准方程
例 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)两个焦点坐标分别是 F1(?3,0), F2(3,0) ,椭圆上一点 P 与两个焦点的距离的和等于 8 (2)两个焦点分别是 F1(0,?4),F2(0,4) ,并且椭圆经过点( 3,? 5)
解:(1)椭圆的焦点在 x 轴上,可设它的标准方程为:
x2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
由已知,得 a ? 4,c ? 3.故b2 ? a2 ? c2 ? 42 ? 32 ? 7 因此,所求椭圆的标准方程为;
x2 ? y2 ?1 16 7

(2)解:由已知,得c ? 4 ,又 c2 ? a2 ? b2 , 故 a2 ? b2 ?16

椭圆的焦点在 y 轴上,可设它的标准方程为:

y2 ? x2 ?1 b 2 ? 16 b 2

因为点? 3,? 5?在椭圆上,所以:

5 ? 3 ?1 b2 ? 16 b2
解得b2 ? 4 或 b2 ? ?12(舍去)得a 2 ? 4 ?16 ? 20

所以方程为:y 2 ? x2 ? 1
20 4

规律总结
1、直接法:先定位(焦点)再定量 (a,b,c) 2、待定系数法:先定位,再设方程;
最后求解a,b的值,写出椭圆的标准
方程.

变式训练2:若一椭圆两焦点分别是椭圆 9x2+4y2=36的两焦点,并且经过点A(2,?3),求 该椭圆方程.
解∵椭圆9x2+4y2=36的两焦点 为(0,? 5 ),故可设所求椭圆方程 为:

x2 ?

y2

? 1,把 (2,?3)代入方程,

m m?5

得: m ? 10或m ? ?2(舍去)

故所求椭圆方程为:x 2 ? y 2 ? 1. 10 15

当堂检测

1、已知椭圆的方程为:x2 ? y2 ? 1



则a=__2___,b=__1_____,4 c=___3____,焦

点坐标为:___?_3_,0?_,?? __3_,0?___焦距等于__2 __3 __; 2、椭圆 x2 ? y2 ? 1 上一点P到一个焦点的 距离为5,2则5 P9到另一个焦点的距离为(A )

A.5

B.6 C.4

D.10

3、两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,

2),并且经过点P( -1.5 ,2.5)的椭圆

的方程?

y2 ? x2 ? 1 10 4

小结 :
一个定义: 椭圆的定义

二个方程:

x2 a2

? y2 b2

?1

y2 a2

?x2 b2

?1?a?b?0?

标准方程



图形





x2

y2 +

=1?a>b>0?

a2 b2

y P

F1 O F2

x

x2

y2 +

=1?a>b>0?

b2 a2

y

F2

P

O

x

F1

焦点坐标

F 1?-c,0?, F 2?c,0? F 1?0?,?-c?, F 2?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 =b2 +c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

谢谢大家



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