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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件1.3.1第2课时柱体、锥体、台体的体积_图文


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
空间几何体

第一章
1.3 空间几何体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第2课时

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式及其求 法. ? 2.知道柱体、锥体、台体的体积公式之间的 转化.

? ●温故知新 ? 旧知再现 ? 1.(2014·全国高考福建卷)以边长为1的正方 形的一边所在直线为轴旋转,将正方形旋转 一周所得圆柱的侧面积等于( ) ? A.2π B.π ? C.2 D.1 ? [答案] A ? [解析] S=2πrh=2π.

? 2.底面是菱形的直棱柱,它的体对角线的长 分别是9和15,高是5,则这个棱柱的侧面积 是( ) ? A.130 B.140 ? C.150 D.160 ? [答案 ]] 设底面两条对角线的长分别为 D [解析 a、b,则 a2+52=
92,b2+52=152,所以 a=2 14,b=10 2.所以菱形的边长 x = a2 b2 ?2? +?2? =8,所以 S 直棱柱侧=4x· 5=4×8×5=160.

3.棱长为 a 的正方体的体积为__________a3,长、宽、高 分别为 a、b、c 的长方体的体积为__________abc. 4.底面积为 S,高为 h 的柱体体积 V=__________Sh,底 面半径为 r,高为 h 的圆柱的体积 V=__________πr2h. 6 3 5.正方体的全面积为 a ,则它的体积为__________ 36 a .
2

[解析] 设棱长为 x,则 6x2=a2, 6 6 3 3 ∴x= 6 a,V=x = 36 a .

? 新知导学 ? 1.柱体的体积 两底面 ? (1)棱柱(圆柱)的高是指__________之间的距 离,即从一底面上任意一点向另一个底面作 垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的 Sh 距离. πr2h ? (2)柱体的底面积S,高为h,其体积V=______. 特别地,圆柱的底面半径为r,高为h,其体 积V=__________. ? [名师点拨] 体积是指几何体所占空间的大 小.

? 2.锥体的体积 顶点 ? (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线, 垂足 _______ 与_________ (垂线与底面的交点)之 1 间的距离. Sh
3

?

1 2 h= (2)锥体的底面积为S,高为h,其体积 3πr V

________.特别地,圆锥的底面半径为r,高为 h,其体积V=__________.

? 3.台体的体积 两个底面 ? (1)圆台(棱台)的高是指 __________之间的距 离.

(2)台体的上、下底面面积分别是 S′,S,高为 h,其体积

1 (S+ SS′+S′)h 3 V=__________________.特别地,圆台的上、下底面半径分别
1 2 2 π( r + rr ′+ r ′ )h 3 为 r,r′,高为 h,其体积 V=____________________.

●自我检测 1 .十棱柱 的底面积为 3 ,高为 2 3 ,则其体 积等于 ________.

? [答案] 6
[解析] V=Sh= 3×2 3=6.

? 2.已知圆锥SO的底面半径r=2,高为4,则 其体积等于________.
[答案] 16 3π

1 2 1 16 2 [解析] V=3πr h=3π×2 ×4= 3 π.

3.棱台的上、下底面面积分别是 2,4,高为 3,则棱台的 体积是( C.24 ) B.6+2 2 D.18 A.18+6 2

? [答案] B
1 [解析] 体积 V=3(2+ 2×4+4)×3=6+2 2.

? 4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2, 高为6,则其体积等于________. ? [答案] 14π
1 [解析] V=3π×(12+1×2+22)×6=14π.

互动课堂

●典例探究

空间几何体的体积
已知正四棱台两底面均为正方形, 边长分别为 4 cm,8 cm,侧棱长为 8 cm,求它的侧面积和体积.

? [分析] 由题意知需求侧面等腰梯形的高和四 棱台的高,然后利用有关的面积公式和体积 公式求得结果.

? [解析] 如图所示,设四棱台 的侧棱延长后交于点P,则 △PBC为等腰三角形,取BC中 点E,连接PE交B1C1于点E1,则 PE⊥BC,E1E为侧面等腰梯形的 高, ? 作PO⊥底面ABCD交上底面于 PB1 B1C1 4 1 在△ PB1C1 和△ PBC 中, 点 O1,连接 O1 E1, OEPB . = BC =8=2,
∴PB1=B1B=8,B1 为 PB 的中点,E1 为 PE 的中点.

在 Rt△PBE 中, PE= PB2-BE2= 162-42=4 15, 1 ∴E1E=2PE=2 15. 在 Rt△POE 中, PO= PE2-OE2= ?4 15?2-42=4 14, 1 ∴OO1=2PO=2 14.

1 ∴S 四棱台侧=4S 梯形 BCC1B1=4×2(4+8)×2 15 =48 15(cm2). ∴V 四棱台=V 四棱锥 P-ABCD-V 四棱锥 P-A1B1C1D1 1 1 =3SABCD· PO-3SA1B1C1D1· PD1 1 1 2 =3×8 ×4 14-3×42×2 14 224 14 = 3 (cm3).

?
? ?

规律总结: 1.常见的求几何体体积的方
法: (1)公式法:直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作 为底面,只需选用底面积和高都易求的形式 即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体, 如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分, 分别求体积.

? ?

? 2.求几何体体积时需注意的问题:

? 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应 的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求 出所需要的量,最后代入公式计算.

如图所示,圆柱有一个内接长方体 AC1,长方 体对角线长是 10 2 cm,圆柱的侧面展开图为矩 形,此矩形的面积是 100π cm2,求圆柱的体积.

? [分析] 由圆柱体积公式V=Sh知, 求S,h是关键.

[解析] 设圆柱底面半径为 r cm,高为 h cm,则圆柱轴截 面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长,
2 2 ? ??2r? +h =?10 即? ? ?2πrh=100π,

2? 2 ,

? ?r=5, ∴? ? ?h=10.

∴V 圆柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).

利用割补法求体积

如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均为正三角形,EF∥ AB,EF=2,求多面体的体积.

? [分析]

[解析] 如图,取 AD 中点 M, 过 M 作 MN⊥EF 于 N, 取 BC 的中点 G,过 G 作 GH⊥EF 于 H,则原几何 体可分割为左棱锥 E-ADN、右棱锥 F-BCH、直三棱柱 ADN-BCH,且 1 3 两锥高各是 2 ,棱柱高 1 ,连接 EM ,则 EM = 2 , MN = 32 12 2 ? 2 ? -?2? = 2 . 1 2 1 1 2 1 2 2 2 ∴V=2×1× 2 ×1+2×3×2× 2 ×1×2= 4 + 12 = 3 .

?

规律总结:当一个几何体的形状不规则 时,无法直接运用体积公式求解,这时一般 通过分割与补形,将原几何体分割或补形成 较易计算体积的几何体,从而求出原几何体 的体积,这种方法就称为割补法.

? 提示:割补法的原则是将不易求体积的几何 体变为易求体积的几何体,是求体积问题的 一种常见方法.

? 三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则 三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积 之比为( ) ? A.1∶1∶1 B.1∶1∶2 ? C.1∶2∶4 D.1∶4∶4 ? [答案] C

? [分析] 如图,三棱锥B-A1B1C可看作棱台减 去两个三棱锥A1-ABC和C-A1B1C1后剩余的 几何体,分别求几何体的体积,然后相比即 可.

[解析] 设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S. 1 1 ∴VA1-ABC=3S△ABC· h=3Sh, 1 4 VC-A1B1C1=3S△A1B1C1· h=3Sh, 1 7 又 V 台=3h(S+4S+2S)=3Sh, ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 =3Sh- 3 - 3 =3Sh. ∴体积比为 1∶2∶4.∴应选 C.

?

总结评述:三棱柱、三棱台可以分割成 三个三棱锥,分割后可由锥体的体积求柱体 和台体的体积,在立体几何中,割补法是重 要的方法.

与三视图有关的体积问题

(2013· 新课标全国Ⅰ) 某几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为( )

? A.16+8π B.8+8π ? C.16+16π D.8+16π ? [分析] 这个几何体是由两个简单几何体拼接 而成的,所以分别算出它们的体积再求和即 可.

[解析]

如图所示,该几何体是个组合体,其下面是半个

1 圆柱,上面是个长方体.该几何体的体积为 V=2×π×22×4+ 4×2×2=16+8π.

? [答案] A

? (2013·辽宁)某几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积是________.

? [答案] 16π-16

? [分析] 该几何体是一个圆柱,里面挖去一个 正四棱柱所形成的,所以其体积为两个简单 几何体的体积之差. ? [解析] 由三视图可知该几何体是圆柱中挖去 一个正四棱柱,又圆柱的底面半径为2,高为 4,直四棱柱的底面边长为2,高为4,则其体 积V=4×4π-2×2×4=16π-16.

●误区警示 易错点 考虑问题不全面致误 把长、 宽分别为 4,2 的矩形卷成一个圆柱的侧面, 求这个圆柱的体积.

[错解] 如图所示,设卷成的圆柱的底面半径为 r,母线长 为 l,

则根据题意有 2πr=4,h=l=2, 2 8 2 ∴r=π,∴V 圆柱=πr h=π. 8 故这个圆柱的体积为π.

? [错因分析] 错误的原因是考虑问题不全面, 出现漏解.事实上,把矩形卷成圆柱时,也 可以使4为圆柱的高,即母线长,使2为圆柱 的底面周长. ? [正解] 设圆柱的底面半径为r,母线长为l. ? 如图所示,

2 当 2πr=4,l=2 时,r=π,h=l=2, 8 ∴V 圆柱=πr h=π.
2

如下图所示, 1 当 2πr=2,l=4 时,r=π,h=l=4, 4 ∴V 圆柱=πr h=π.
2

8 4 综上所述,这个圆柱的体积为π或π.

? (2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所 示.则该几何体的表面积为________.

? [答案] 38

? [解析] 该几何体为一个长方体中挖去一个圆 柱构成,几何体的表面积S=长方体表面积+ 圆柱的侧面积-圆柱的上下底面面积.由三 视图知,长方体的长、宽、高为4,3,1,圆柱 的底面圆的半径为1,高为1,所以S= 2×(4×3+4×1+3×1)+2π×1×1- 2×π×12=38.

随堂测评

? 1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为1、2、 3,则长方体的体积与表面积分别为( ) ? A.6,22 B.3,22 ? C.6,11 D.3,11 ? [答案] A

? 2.已知圆台OO′的上、下底面半径分别为2和 4,高为9,则圆台OO′的体积是( ) ? A.84π B.60π ? C.54π D.40π ? [答案] A
1 2 [解析] V=3π(2 +2×4+42)×9=84π.

3.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么 圆柱与圆锥的体积之比为( A.1 3 C. 2 ) 1 B.2 3 D.4

? [答案] D
[解析] 设圆柱底面半径为 R,圆锥底面半径 r,高都为 h, 由已知得 2Rh=rh,∴r=2R, 1 2 V 柱∶V 锥=πR h∶3πr h=3∶4,故选 D.
2

? 4.(2012·上海高考数学试题(理科))若一个圆 锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该 圆锥的体积为 ________. 3π
[答案] 3

[解析] 根据该圆锥的底面圆的半径为 r,母线长为 l,根 1 2 据条件得到2πl =2π,解得母线长 l=2,2πr=πl=2π,r=1 所以 1 1 3 2 2 该圆锥的体积为:V 圆锥=3Sh=3× 2 -1 π= 3 π.

? [点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式 和侧面展开图.审清题意,所求的为体积, 不是其他的量,分清图形在展开前后的变化; 其次,对空间几何体的体积公式要记准记牢, 属于中低档题.

? 5.如图所示,棱长为2的正方体ABCD- A1B1C1D1中,截去三棱锥C1-BCD后剩余部分 的几何体的体积V=________.

[答案]
[解析 ] 20 3.

20 3

? 1 ?1 V =V 正方体 - VC1 -BCD =2 -3 × ?2×2×2? ×2= ? ?
3

? 6.(2013·湖北·文科)我国古代数学名著《数 书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时, 用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口 直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆 深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降 雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于 盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十 寸) ? [答案] 3

[解析] 由已知得,天池盆盆口的半径为 14 寸,盆底的半 径为 6 寸,则盆口的面积为 196π 寸 2,盆底的面积为 36π 寸 2. 14+6 又盆高 18 寸, 积水深 9 寸, 则积水的水面半径为 2 =10(寸), 1 积水的水面面积为 100π 寸 ,积水的体积为 V = 3 ×(36π +
2

588π 36π×100π+100π)×9=588π(寸 ), 所以平地降水量为196π=
3

3(寸).

课后强化作业
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